LA ELIPSE HÍPSTER
El pasado 14 de noviembre de 2.016 tuve que dar una clase de 7 minutos a mis compañeros como parte de la asignatura de medios y técnicas de comunicación del máster de formación de profesorado de secundaria. Mi tema fue el de la elipse, una curva que me tiene intrigado desde siempre. Tan sencilla y a la vez tan compleja. La idea me vino de mi amiga María Jaque, licenciada en bellas artes y educadora artística, que me dijo que en los bazares se pueden encontrar conos y esferas de porexpan (corcho blanco) de distintos tamaños. Si hay algo que me fascina más todavía de la elipse es el teorema de Dandelín. Por tanto necesitaba comprar:
- Un cono de porexpan para seccionarlo y generar una elipse.
- Láminas de plástico para generar un cucurucho transparente, superficie cónica.
- Dos esferas de porexpan inscribibles en el cucurucho simultáneamente.
El resto de la tarea es sencillo, conocido el cono, lo tenía en mis manos y los diámetros de las esferas, imprimir la elipse cuyos focos son tangentes a las dos esferas. De sencillo nada, fueron horas de trabajo y de resolución de problemas con medios escasos: pero lo pasé bomba, el reto además lo merecía.
1. LAS COMPRAS
Me fui de compras y volví con esto:
Una carpeta de plástico, de la que sólo me interesaba el plastico y mi deseado cono. Las esferas las conseguí de un sobrante de un trabajo sobre el sistema solar de mi hijo Martintxu en 1º de la ESO.
2. LA DEFINICIÓN
La definición más práctica que se me ocurrió fue que la elipse es la curva cerrada resultado de seccionar un cono por un plano. Usando en la definición el término curva cerrada descartaba la parábola y la hipérbola. Sólo me quedaba por tanto explicar qué era una sección por un plano y qué era un cono. Empecé por el cono.
3. EL CONO COMO VOLUMEN DE REVOLUCIÓN.
Para explicar lo que es un volumen de revolución nada mejor que una batidora, un triángulo rectángulo y un rectángulo. Todo el mundo sabe qué es un cilindro o un cono, pero seguramente muchos de los que no tienen interés por la geometría no han pensado que usan la batidora tienen un generador de volúmenes de revolución en sus manos.
Tengo dos varillas de dos batidoras iguales en casa, así que no tuve más que manipularlas convenientemente.
Al conectar la varilla a la batidora lograba generar un cono o un cilindro. El vídeo muestra como se genera un cono:
4. ¿QUÉ ES UNA SECCIÓN?
Mi audiencia no creo que estuviera por la labor de que empezara a hablar de operaciones booleanas, o de hiperplanos, así que decidí hacer las cosas más sencillas, una sección por un plano es cortar por un cuchillo. Y una sección por una superficie cilíndrica es sacar el corazón a una manzana con un sacacorazones. Logré convertir mi clase en una cocina, saqué la tabla y me puse a hacer secciones.
Primero la manzana, con un cuchillo normal, para el cono que estaba a la espera tenía preparado un cuchillo de sierra.
5. SECCIONES DEL CONO
Seguimos en la cocina y seccionamos nuestro cono con distintos planos por medio del cuchillo de sierra. Comenzamos con la hipérbola, una de las ramas:
Y seguimos con la elipse:
Y aquí las dos cónicas generadas por mi cuchillo del pan:
6. TEOREMA DE DANDELÍN (1)
Para aplicar el teorema de Dandelín tenía que conseguir lo que muestra esta fotografía:
Seguimos en la cocina y seccionamos nuestro cono con distintos planos por medio del cuchillo de sierra. Comenzamos con la hipérbola, una de las ramas:
Y seguimos con la elipse:
Y aquí las dos cónicas generadas por mi cuchillo del pan:
6. TEOREMA DE DANDELÍN (1)
Para aplicar el teorema de Dandelín tenía que conseguir lo que muestra esta fotografía:
Tenía que seccionar el cono exactamente con un plano que contuviera la elipse cuyos focos son los puntos de tangencia de las esferas con este plano. A continuación vienen los pasos anteriores a esta maravillosa imagen.
7. MODELIZADO DEL CONO
Envolviendo el cono con un papel obtuve el desarrollo de su cara lateral. Estos conos de porexpan tienen la punta redondeada, por lo que tuve que tener atención especial al vértice, estaba bastante más alejado de lo que parecía.
Conocido el desarrollo es inmediato obtener la abertura del cono. La abertura es el ángulo entre el eje del cono (el de la batidora) y la superficie de revolución generada.
8. OBTENCIÓN DE LA ELIPSE
Con el desarrollo obtuve el ángulo de apertura del cono, y con él pude resolver el problema geométrico con el programa Geogebra:
La fotografía representa un A4. El dibujo está realizado en escala 1:1 usando el mm como medida, como buen ingeniero que soy.
El punto V es el vértice del cono y las dos circunferencias (de diámetros conocidos, también de porexpan) son las esferas inscritas en la superficie cónica. Los focos se obtienen de una de las tangentes comunes a las dos circunferencias y el resto de la magia es de geogebra: definición de una elipse por sus focos y un punto. Ese tercer punto es la uno de los puntos de intersección entre el plano que secciona el cono (representado por la tangente común que hemos usando anteriomente). Así obtenemos no sólo la elipse sino también sus dos ejes.
Si imprimes en un A4 la solución, se obtiene la elipse en papel y no hay más que recortarla.
9. CUCURUCHO TRANSPARENTE DE DANDELÍN: TEOREMA DE DANDELÍN (2)
De la misma manera que obtuve el desarrollo, cubriendo con plástico transparente el cono objetivo de mi cuchillo del pan, obtuve el cucurucho para echar dentro dos esferas y una elipse de forma secuencial
Tras la esfera pequeña viene la elipse impresa:
Y encima colocamos la esfera mayor:
Los focos son los puntos de tangencia del plano que contiene la elipse:
10. SECCIÓN DEL CONO DE POREXPAN.
La parte más manual y no representada en estas fotografías es como trasladar esta elipse al cono de porexpan. Hube de hacerlo a las bravas:
- Trazar con un rotulador en el cucurucho transparente la elipse.
- Introducir el cono de proexpan dentro del cucurucho.
- Con una punta de compás pinchar en puntos de la elipse atravesando el plástico para que quedara marcado el cono de porexpan.
- Uniendo los puntos producto del punzonado hemos trasladado la elipse al cono de porexpan.
- Y luego lo cortamos con mi cuchillo de sierra que ya estaba ansioso.
El gran momento fue el de colocar la elipse en la sección y ver que todo cuadraba.
En la foto se ve un cilindro también con la misma elipse inscrita en él. Esto me sirvió para aplicar el concepto de infinito, un cilindro no es más que un cono cuyo vértice está en el infinito.
Esto me dio muchos más problemas de los que esperaba. No hay cilindros de porexpan, y si los hubiera hubiera tenido que encontrar uno con diámetro de base el eje menor de la elipse. Así que usé geogebra para hacer el desarrollo del cilindro y de la sección y lo pegué como pude, bastante mal por cierto. A modo de curiosidad, decir que el desarrollo es un coseno, así que si un día quieres ver cómo es un coseno, y no tienes goegebra a mano, seccionas una superificie cilíndrica por un plano y obteniendo el desarrollo consigues dibujar un coseno.
Esto se puede hacer para un cilindro, pero para un cono, creo que no es nada sencillo, por eso me reafirmo en la artesanía punzonando mi cucurucho de plástico. Tengo la impresión de que por medio de una homología podría conseguirlo, mas no sé aún no sé bien cómo hacerlo: ¡conseguirlo sería realmente genial! Se agradecen voluntarios.
11. Y EL GRAN FINAL, LA ELIPSE DEL JARDINERO
Una de las definiciones de la elipse es la del lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos es constante. Lo que hice fue demostrar que para la elipse cuyos focos había hallado usando el teorema de Dandelin esa condición se cumplía. Para ello representé en una tabla el eje menor de mi elipse y los dos focos. Uniendo el extremo del eje menor a los focos obtenía la suma de las distancias, la constante:
Así logré trazar la elipse y obtener el eje mayor. La elipse de la sección del cono está encima del tablero. Para el tablero usé una escala 3:1. Si lo mides es sorprendentemente cierto: la definición de lugar geométrico y Dandelín cuadran.
La madera usada es de una tapa de una caja de vino que me dio un vecino.
12. OBJETIVO CUMPLIDO
Sólo quedaba dar la clase de 7 minutos, con todo lo que tenía, tuve que podar, y lo que preparé fue esto:
Y fui capaz de explicar dos terceras partes, lo cual no está mal.
13. AGRADECIMIENTOS
A Isa y a mis hijos, ellos me aguantaron mi locura mientras cortaba porexpan y les hablaba de Dandelín. También ellos les dieron el toque de color al cono y a las esferas pintándolas con témperas de colores.
A María por la idea.
Y a mis compañeros del máster por haber asistido respetuosamente a mi clase. Estoy preparado para repetirla donde alguien me deje.
Madrid 20.11.16
PAV
No hay comentarios:
Publicar un comentario